De Econometrist

De Econometrist neemt een statistische kijk op de wereld.

Wiskunde

Fractals: van bloemkool tot Mandelbrot

Wiskundige objecten met fractale eigenschappen werden eind 19e eeuw en begin 20ste eeuw ontdekt door wiskundigen als Karl Weierstrass, Helge von Koch, Georg Cantor, Henri Poincaré en Gaston Julia. Echter, pas in 1975 werd de term fractal geïntroduceerd door Benoît Mandelbrot. De term fractal is afgeleid van het Latijnse woord fractus dat gebroken betekent. De bekendste fractals zijn de Mandelbrotverzameling en de Juliaverzameling.

Wat is een fractal?

Een fractal is een meetkundige figuur die is opgebouwd uit delen die min of meer gelijkvormig zijn met de figuur zelf. Fractals hebben oneindig veel details en bij sommige fractals komen motieven voor die zich op steeds kleinere schaal herhalen. Doorgaans kan een fractal gegenereerd worden door op steeds kleinere schaal een bepaalde bewerking te herhalen. Als de herhaling op elke schaal precies hetzelfde is, wordt dit ook wel een zelfgelijkend figuur genoemd.

Fractals verschillen van andere meetkundige figuren in de manier waarop ze geschaald worden. Bij verdubbeling van de lijnen van een tweedimensionaal figuur, verveelvoudigt de oppervlakte met vier: 2 (de ratio van de nieuwe ten opzichte van de oude lengtes) tot de macht 2 (de dimensie waarin het figuur uitdijt). Bij verdubbeling van de straal van een bol verveelvoudigt de oppervlakte met acht: 2 (de ratio van de nieuwe ten opzichte van de oude lengtes) tot de macht 3 (de dimensie waarin het figuur uitdijt). Voor een fractal ligt dit anders. Als de eendimensionale lengte van een fractal wordt verdubbeld hoeft de dimensie waarin de fractal zich uitdijt niet per definitie een integer getal te zijn. Deze niet-geheeltallige dimensie wordt de fractale dimensie genoemd.

De Multiple Reduction Copy Machine

De structuur van een fractal kan het eenvoudigst worden uitgelegd aan de hand van de Multiple Reduction Copy Machine (MRCM). Echter, stel je eerst de Single Reduction Copy Machine (SRCM) voor. Deze machine kopieert de figuur en verkleint het gelijktijdig met 50%. Elke keer dat de figuur gekopieerd en verkleind wordt, wordt de figuur kleiner wat uiteindelijk in een punt resulteert. Neem nou de MRCM in plaats van de SRCM. Deze machine verkleint de figuur ook met 50% maar kopieert de figuur meerdere keren in plaats van maar één keer. Onderstaande figuur laat dit zien voor een rechthoek die gehalveerd en 3 keer gekopieerd wordt. Als we deze procedure voor het resulterende figuur blijven herhalen, ontstaan er kopieën van de rechthoek die heel snel verkleinen, maar de totale figuur convergeert niet naar een punt, zoals het geval is voor de SRCM. Het resulterende figuur wordt ook wel een Sierpinski Gasket genoemd.

 

Zelfgelijkenis

Zelfgelijkenis is een onderliggend thema bij alle fractals. Een natuurlijk verschijnsel waar de zelfgelijkenis optreedt is een bloemkool. Het is geen klassieke wiskundige fractal, maar bij een bloemkool is het concept van zelfgelijkenis aanwezig. Een bloemkool bestaat uit delen die, als ze verwijderd worden en vergeleken met de oorspronkelijke bloemkool, daar erg op lijken alleen wat kleiner zijn. Deze ‘kleinere’ bloemkolen bestaan wederom uit delen die vergeleken kunnen worden met de gehele bloemkool alleen nog kleiner zijn. Echter bij een bloemkool is dit proces eindig. Uiteindelijk worden de delen zo klein dat ze niet meer op de oorspronkelijke bloemkool lijken.

In een wiskundige idealisering kan de zelfgelijkenis eigenschap van een fractal oneindig vaak herhaald worden. Ondanks dat het concept van zelfgelijkenis pas 20 jaar oud is, zijn er een hoop constructies die in de kern gebruikmaken van dit concept. De oudste en belangrijkste constructie is waarschijnlijk ons decimale stelsel. Het is ontstaan na een lange wetenschappelijke en culturele worsteling en is erg nauw verbonden met de onderliggende basis van de fractals.

De Sierpinski Gasket en Carpet

Eén van de klassieke fractals is de Sierpinski Gasket, geïntroduceerd in 1916 door en genoemd naar de Poolse wiskundige Waclaw Sierpinski (1882-1969). Ook bij deze fractal wordt er gebruikgemaakt van zelfgelijkenis en een repeterend schema. Men begint met een zwarte driehoek. Vervolgens worden de middelpunten van alle zijden genomen. Met deze punten en de al bestaande hoekpunten worden vier nieuwe driehoeken gemaakt, waarvan de middelste driehoek wordt verwijderd. Als je deze procedure bij alle driehoeken blijft herhalen ontstaan er 3, 9, 27, 81, 243, … driehoeken in de volgende stappen.

De Sierpinski Gasket is de set punten die overblijft na het oneindig herhalen van deze procedure. Het is duidelijk dat de zijden van alle driehoeken in het proces tot de Sierpinski Gasket behoren. Voor andere punten is dit minder makkelijk te zeggen.  

Een andere fractal die Sierpinski introduceerde is de Sierpinski Carpet. Bij deze fractal wordt er begonnen met een vierkant. Dit vierkant wordt in negen even grote vierkanten verdeeld waarvan de middelste wordt verwijderd. Bij de overgebleven acht vierkanten wordt dit proces wederom herhaald. De punten die overblijven na het oneindig herhalen van dit proces behoren tot de Sierpinski Carpet.

De Koch Curve

De Koch Curve werd in 1904 door de Zweedse wiskundige Helge von Koch geïntroduceerd. Bij deze fractal wordt er begonnen met een rechte lijn, ook wel de interior genoemd. Deze lijn wordt vervolgens in drie gelijke stukken verdeeld. De middelste lijn wordt vervangen door een gelijkzijdige driehoek waarvan de basis wordt verwijderd. De nieuwe figuur bestaat nu uit vier rechte lijnen. Bij deze vier lijnen wordt het proces van de lijn in drieën verdelen en het middelste gedeelte vervangen door een gelijkzijdige driehoek zonder de basis herhaald. De constructie van de Koch Curve vindt plaats in stappen, waarbij in elke stap het aantal lijnen met een factor 4 toeneemt.

In elke stap worden de lijnen korter, wat betekent dat de totale lengte van de Koch Curve niet met een factor 4 toeneemt in elke stap. Maar wat is dan wel de lengte van de Koch Curve?

Na de eerste stap is er een curve die uit 4 lijnen van dezelfde lengte bestaat. Na de tweede stap bestaat de curve uit 4 * 4 = 4^2 even lange lijnen, na de derde stap 4 * 4 * 4 = 4^3 enzovoorts. Als de lengte van de originele lijn L is, dan is de lengte van 1 lijn na stap 1 L * \dfrac{1}{3}, na stap 2 L * \dfrac{1}{3^2}, na stap 3 L * \dfrac{1}{3^3} enzovoorts. Aangezien de curve na elke stap uit een te berekenen aantal lijnen bestaat kan de lengte van de curve na elke stap eenvoudig bepaald worden. Na stap 1 is de lengte van de curve 4 * L * \dfrac{1}{3}, na stap 2 4^2 * L * \dfrac{1}{3^2} en na stap k 4^k * L * \dfrac{1}{3^k}. Wat volgt is dat de curve met een factor 4/3 groeit tussen elke stap.

Waar bij de Sierpinski Gasket en Carpet de zelfgelijkenis voor zich spreekt, is dat bij de Koch Curve minder het geval. Bij de Koch Curve speelt de zelfgelijkenis een rol bij de constructie, aangezien elk van de 4 lijnen in stap k met een factor 3 verkleind is ten opzichte van de totale curve in stap k-1.

Uit de Koch Curve is de Koch Snowflake voortgekomen. Deze wordt gevormd door de zijden van een gelijkzijdige driehoek met lengte L te vervangen door de Koch Curve.

De Mandelbrotverzameling

De Mandelbrotverzameling is genoemd naar Benoît Mandelbrot, een Frans-Poolse wiskundige die de fractal in 1980 voor het eerst met een computer onderzocht. De verzameling werd echter al in 1905 zonder computer onderzocht door de Franse wiskundige Pierre Fatou.

De Mandelbrotverzameling is een deelverzameling van de verzameling van complexe getallen en ontstaat door herhaaldelijk een wiskundige bewerking uit te voeren op de verzameling van complexe getallen. In deze bewerking wordt eerst het kwadraat van een complex getal genomen, waarna het oorspronkelijke getal hierbij wordt opgeteld. Er blijken twee soorten complexe getallen te bestaan, na het veelvuldig herhalen van deze bewerking op alle complexe getallen. De meeste complexe getallen leveren na deze bewerking een ongebonden rij op: de uitkomsten worden steeds groter naarmate de bewerking vaker herhaald wordt. Andere complexe getallen leveren na deze bewerking een begrensde rij op: hoe vaak de bewerking ook herhaald wordt, de uitkomsten blijven binnen bepaalde waarden. De Mandelbrotverzameling bestaat uit alle getallen die een begrensde rij opleveren na het toepassen van de bewerking. De getallen die tot een ongebonden sequentie leiden, vallen buiten de Mandelbrotverzameling. Gebonden sequenties blijven binnen bepaalde waarden en het blijkt dat deze waarden, weergegeven in het complexe vlak, een cirkel vormen. De Mandelbrot verzameling valt dus binnen deze cirkel. In de praktijk blijkt deze cirkel een straal van 2 te hebben en de oorsprong als middelpunt.

De Mandelbrotverzameling wordt doorgaans met een zwarte kleur weergegeven en de getallen die buiten de verzameling vallen met een andere kleur. Vaak zijn de kleuren een indicatie van de hoeveelheid iteraties dat nodig is voordat een ongebonden sequentie een waarde oplevert die buiten de cirkel valt waarbinnen de Mandelbrotverzameling zich bevindt. Sommige punten hebben honderden iteraties nodig voordat vastgesteld kan worden dat ze ongebonden zijn. Dit wordt duidelijk als er ingezoomd wordt op de randen van de Mandelbrotverzameling. Wanneer er bijvoorbeeld 256 kleuren gebruikt worden, beginnend met een donkerblauwe kleur voor de punten die meteen buiten de cirkel liggen, dan wordt die donkerblauwe kleur na 256 en na 512 iteraties opnieuw gebruikt voor punten die na 256 of na 512 iteraties buiten de cirkel komen te liggen.

Natuurlijke fractals

Fractals komen ook voor in de natuur. Deze fractals zijn bij benadering zelfgelijkend en herhalen een eindig aantal keer. Onderstaande afbeeldingen zijn voorbeelden van natuurlijke fractals.

 

 


Dit artikel is geschreven door Lotte Post

Deel dit artikel:

By Daniele Zedda • 18 February

← PREV POST

By Daniele Zedda • 18 February

NEXT POST → 34
Share on