De Econometrist

De Econometrist neemt een statistische kijk op de wereld.

Wiskunde

Puzzels in de kunst

De Japanse puzzel is voornamelijk bekend onder de mensen in de vorm van een sudoku, waarbij je op een bepaalde manier de cijfers één tot en met negen zowel horizontaal, verticaal als diagonaal moet invullen. Dit is echter niet de enige Japanse puzzel die er bestaat. Al vroeg in de middeleeuwen begonnen  de Japanners met puzzelen en schreven deze op houten planken om tempels te versieren. Deze puzzels zijn bekend onder de naam sangaku ’s en beelden wiskundige stellingen af. Het doel van deze puzzel is om de wiskundige stelling te ontcijferen en te bewijzen. In dit artikel wordt het ontstaan van deze puzzels beschreven  en enkele voorbeelden gegeven.

Ontstaan van de Sangaku

Al vroeg in de Middeleeuwen, zo rond de achtste eeuw, waren de Japanners vertrouwd met de klassieke Chinese bezigheden rond algebra, rekenkunde en meetkunde. Deze invloed bleek echter niet genoeg, want de Japanners ondernamen zelf weinig om hier een eigen inbreng aan toe te voegen. Het begin van de Middeleeuwen van Europa viel dus samen met een donkere periode in Japan. Er was vrijwel geen eigen wiskundige kennis bij de Japanners te vinden. Het was zelfs zo erg, dat er een paar eeuwen later, in de 15e eeuw, nauwelijks een Japanner te vinden was die een fatsoenlijke deling kon uitvoeren.

Ruim twee eeuwen later kwam hier verandering in, want in 1627 werd het eerste voorbeeld van origineel Japanse wiskunde gepubliceerd, Jinko-ki genaamd. Wat staat voor “kleine en grote getallen.” Dit werd later bijna een synoniem voor wiskunde, aangezien de invloed zo omvattend was. In deze periode waren de Shoguns aan de macht, die in Japan de absolute macht bezaten. Geleid door angst voor dreigingen van buitenaf werd in 1639 besloten dat de grenzen gesloten werden. Hierdoor werd de import van boeken verboden en was er dus geen invloed van buitenaf mogelijk. Deze periode van totaal  isolement heeft twee eeuwen geduurd; pas in 1854 werd door een vloot Amerikaanse oorlogsschepen, onder leiding van Matthew C. Perry, het einde van dit isolement afgedwongen.

Normaal gesproken zou een periode van isolement alleen negatieve gevolgen kennen, echter heeft dit isolement in dit geval ook voor positieve gevolgen gezorgd. Het isolement zorgde ervoor dat Japan zich in alle rust cultureel kon ontpoppen. Met name op wiskundig gebied heeft Japan zich erg ontwikkeld in die periode. De godsdienst destijds was het shintoïsme , wat uit meer dan achthonderd goden bestond. Om deze allemaal tevreden te houden, gaf de bevolking veel geschenken aan de tempels en diens priesters. In die tijd werd er aangenomen dat de goden van paarden hielden. Niet iedereen kon zich een paard veroorloven, daardoor werden er schilderingen van paarden op planken gemaakt en vervolgens door de priesters opgehangen in de tempels.

In Japan heeft men altijd al veel aandacht voor vormen en natuurlijke schoonheid gehad. Dit zijn twee aspecten die vaak aanbod komen in de wiskunde, maar vooral binnen de meetkunde. Door deze affiniteit voor vormen verschenen er veel meetkundige figuren, naast de schilderingen van paarden. Men wilden de goden bedanken voor het bedenken van zulke  mooie meetkundige stellingen. Zij schilderden de stelling op een houten plankje en schonken dit aan een tempel. In veel gevallen werd alleen het resultaat geschilderd, waardoor anderen de stelling moesten bewijzen. Hierdoor waren er een soort van antwoordenboekjes in omloop, wat eigenlijk een collectie van oplossingen was. Doordat er geen invloed van buitenaf was, ontwikkelde de Japanse wiskundige zich volledig onafhankelijk van de rest van de wereld.

Voorbeelden

Hieronder volgen enkele voorbeelden van de meest bekende sangaku’s. Probeer ze eerst zelfs eens op te lossen, kijk hoever je komt!

De botsing

 

Oplossing:

Bij deze sangaku is het de bedoeling dat je de lengte van d uitdrukt. Hierbij maak je gebruik van de stellingen van een raaklijn. Een raaklijn is een lijn die precies één punt gemeenschappelijk heeft met een cirkel. De stellingen van een raaklijn zijn hieronder herhaald:

  1. Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal van de cirkel die het raakpunt verbindt met het middelpunt.
  2. Een punt P buiten de cirkel heeft twee raaklijnen naar de cirkel, zeg A en B. De afstand van P tot de raakpunten is uit te drukken met behulp van de stelling van Phytagoras. Namelijk, AP2=MP2-r2 en BP2=MP2-r2. Dus AP=BP.
  3. Als twee cirkels elkaar raken, ligt het raakpunt op de lijn door de twee middelpunten van de cirkels.

Laat de straal van de grote cirkel r zijn en de straal van de kleine cirkel s. Volgens (1) is TQRS een rechthoek aangezien beide cirkels dezelfde raaklijn hebben. We kunnen nu concluderen dat PT=r-s. Volgens (3) geldt dat PQ=r+s. Als we de stelling van Phytagoras toepassing krijgen we PQ2=PT2+TQ2, als we al het bovenstaande invullen krijgen we (r+s)2=(r-s)2+d2. Als we dit oplossen voor d2 krijgen we d2=(r+s)2-(r-s)2=4rs. Hieruit volgt dat d=2\sqrt(rs).

Het gevangen muisje

Oplossing:

De te bewijzen formule is: 1/(\sqrt(r3))=1/(\sqrt(r1))+1/(\sqrt(r2))

Hieruit volgt dat 1/(\sqrt(r3)) het grootst is, wat impliceert dat r3 de kleinste straal is. Dus r3 is de straal van de kleinste cirkel. We nemen aan dat r1>r2>r3. Dus r1 is de straal van de grootste cirkel en r2 de straal van de rechter cirkel. Er is een raaklijn die alle drie de cirkels raakt. Dus we kunnen de oplossing van het eerste probleem hierboven gebruiken. Deze impliceert dat d1=2\sqrt(r1r3), d2=2\sqrt(r2r3) en d1+d2=2\sqrt(r1r2). Hieruit volgt dat \sqrt(r1r2)=\sqrt(r1r3)+\sqrt(r2r3). Als we dit delen door \sqrt(r1r2r3) krijgen we: 1/(\sqrt(r3))=1/(\sqrt(r1))+1/(\sqrt(r2)).

Veel van deze sangaku’s zijn verloren gegaan, maar er zijn er nog zo’n negenhonderd over. Tussen deze negenhonderd sangaku’s zitten ook veel vergezochte stellingen, waarbij het vooral gaat om samenraapsel van vierkanten en driehoeken. Of een sangaku mooi is, is natuurlijk een persoonlijke kwestie, echter zijn we denk ik wel van mening dat onderstaande sangaku toch wel de mooiste is.


Dit artikel is geschreven door Noortje Stolk

Deel dit artikel:

By Daniele Zedda • 18 February

← PREV POST

By Daniele Zedda • 18 February

NEXT POST → 34
Share on